Límite de una función
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El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
Esto, escrito en notación formal:
No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet definida como:
Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en c es L" y escribimos
En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:
si , entonces
De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:
Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.[4]
Supongamos que , veamos que no puede ser que también verifique la definición. Para ello tomamos un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.
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[editar] Historia
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.[2]
[editar] Definición formal
[editar] Funciones de variable real
Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función . |
No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet definida como:
donde no existe un número c para el cual exista . Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.
[editar] Límites laterales
De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):[editar] Funciones en espacios métricos
Existe otra manera definición de límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos:Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en c es L" y escribimos
En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:
si , entonces
De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:
- x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).
- x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c.
- La solución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).
[editar] Unicidad del límite
Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único. |
Supongamos que , veamos que no puede ser que también verifique la definición. Para ello tomamos un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.
[editar] Propiedades de los límites
[editar] Propiedades generales
Si k es un escalar:Límite de | Expresión |
---|---|
Una constante | |
La función identidad | |
El producto de una función y una constante | |
Una suma | |
Una resta | |
Un producto | |
Un cociente | |
Una potencia | |
Un logaritmo | |
El número e | |
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal | . |
[editar] Indeterminaciones
Véase también: Forma indeterminada
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):Operación | Indeterminación |
---|---|
Sustracción | |
Multiplicación | |
División | |
Elevación a potencia |
- Ejemplo.
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