Intervalo (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas, un intervalo (del lat intervallum) es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

Contenido

[ocultar]

[editar] Caracterización

El intervalo real $I\$ es la parte de $\R$ que verifica la siguiente propiedad:

Si $x\$ e $y\$ pertenecen a $I\$ con $x \le y$ , entonces para todo $z\$ tal que $x \le z \le y\$ , se tiene que $z\$ pertenece a $I\$ .

[editar] Notación

Intervalo abierto (a,b).

Intervalo cerrado [a,b].

Intervalo semiabierto [a,b).

Intervalo semiabierto (a,b].

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

[editar] Intervalo abierto

No incluye los extremos.

$(a,b)\$ o bien $]a,b[\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades: $\{x\in\R\,|\,a<x<b\}$

[editar] Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

$[a,b]\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades: $\{x\in\R\,|\,a\le x\le b\}$

[editar] Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

$[a,b)\$ o bien $[a,b[\$ , notación conjuntista: $\{x\in\R\,|\,a\le x<b\}$
$(a,b]\$ o bien $]a,b]\$ , notación conjuntista: $\{x\in\R\,|\,a<x\le b\}$

Nota:

Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
(a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.
[a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.
Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación $(a,b)\$ , denota un par ordenado en teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.
Ambas notaciones admiten el símbolo $\infty$ para indicar que no hay cota.

[editar] Ejemplos

[editar] Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).
La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación	Intervalo	Longitud	Descripción
$[a, b] \,$	$a \le x \le b$	$b-a \,$	Intervalo cerrado de longitud finita.
$[a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, b) \!$	$a \le x < b\!$	$b-a \,$	Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
$]a, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b] \!$	$a < x \le b$	$b-a \,$	Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
$]a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, b) \!$	$a<x<b \!$	$b-a \,$	Intervalo abierto.
$]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b) \!$	$x < b \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (- \infty, b] \!$	$x \le b \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ [a, \infty ) \!$	$x \ge a \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (a, \infty ) \!$	$x > a \!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \ (\infty, + \infty ) \!$	$x \in \mathbb{R} \!$	$\infty$	Intervalo a la vez abierto y cerrado.
$\{ a \} \!$	$x=a \!$	$0 \!$	Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
$\{\} = \emptyset\!$	x no existe	Sin longitud.	Conjunto vacío.

[editar] Propiedades

La intersección de intervalos de $\R$ es también un intervalo.
La unión de intervalos de $\R$ no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
Las partes conexas de $\R$ son exactamente los intervalos.
Los intervalos cerrados son lo que se denominada «segmento de recta».
La imagen por una función continua de un intervalo de $\R$ es un intervalo de $\R$ . Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.

[editar] Aritmética de intervalos

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.
Entonces: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que

I + J = [ a + c , b + d ].

I - J = [ a - d, b - c ].

Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

[editar] Generalización

En el espacio métrico $\R$ , los intervalos son las bolas abiertas y cerradas.
Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de $\R^n$ , que es el producto cartesiano de n intervalos: $I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n$ , uno en cada eje de coordenadas.
De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

$E (a ; \epsilon) = \left\{ \left. x \in \real \ \ \right| \ \ |x - a| < \epsilon \right\}$

Cálculo Diferencial CBTIS 239

viernes, 20 de enero de 2012