Desigualdad matemática

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No debe confundirse con inecuación.

En matemáticas una desigualdad es una relación de falta de igualdad entre dos cantidades o expresiones.^[1]
En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es:

2 x + 7 < 19

Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera. Ejs: 4^x-2 (4 equivale a x-2) /esto nos llevaria ya a un prefijo ecuacional puro, eliminando las incomodidades de la escritura dialectal/

[editar] Propiedades

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Transitividad

Para números reales arbitrarios a,b y c:

Si (a > b) y (b > c); entonces (a > c)
Si (a < b) y (b < c); entonces (a < c)
Si (a > b) y (b = c); entonces (a > c)
Si (a < b) y (b = c); entonces (a < c)

Adición y sustracción

Para números reales arbitrarios a,b y c :

Si (a < b), entonces ((a + c) < (b + c)) y ((a − c) < (b − c))
Si (a > b), entonces ((a + c) > (b + c)) y ((a − c) > (b − c))

Multiplicación y división

Para números reales arbitrarios a y b; y c diferente de cero :

Si c es positivo y (a < b), entonces (ac < bc) y (a/c < b/c)
Si c es negativo y (a < b), entonces (ac > bc) y (a/c > b/c)

Adición inversa

Se produce cuando el número que se suma a un número particular da como resultado cero.

Para cualquier número real a, b :

Si (a < b) entonces ((−a) > (−b))
Si (a > b) entonces ((−a) < (−b))

Multiplicación inversa

La multiplicación inversa de una fracción (a/b) es (b/a). La de cualquier número real (a) es (1/a)

Para cualquier número real a,b diferente de cero, siendo ambos positivos o negativos a la vez :

Si (a < b) entonces ((1/a) > (1/b))
Si (a > b) entonces ((1/a) < (1/b))

Si a ó b son negativos, pero no ambos a la vez :

Si (a < b) entonces ((1/a) < (1/b))
Si (a > b) entonces ((1/a) > (1/b))

Aplicando una función a ambos lados

Gráfico de la función y = ln x

Cualquier función estrictamente monótona creciente se puede aplicar a ambos lados de una desigualdad y se mantendrá vigente. Aplicar una función estrictamente monótona decreciente a ambos lados de una desigualdad significa lo contrario de lo que la desigualdad mantiene ahora. Las reglas de adiciones y multiplicaciones inversas son ejemplos de la aplicación de una función monótonamente decreciente.

Para una desigualdad no estricta (a ≤ b, a ≥ b):

Aplicar una función monótonamente creciente conserva la relación (≤ sigue_siendo ≤, ≥ sigue_siendo ≥)
Aplicar una función monótonamente decreciente invierte la relación (≤ se_convierte_en ≥, ≤ se_convierte_en ≥)

Como ejemplo, considerar la aplicación del logaritmo natural a ambos lados de una desigualdad:

$0 < a < b \Leftrightarrow \ln(a) < \ln(b).$

Esto es así porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente.

[editar] Desigualdades conocidas

Categoría principal: Desigualdades

Los matemáticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas exactas no pueden ser fácilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha puesto nombre, como:

Cálculo Diferencial CBTIS 239

viernes, 20 de enero de 2012